Могу ли я запустить Telegram на собственном сервере?

Архитектура Telegram пока не поддерживает такое. Telegram - это единый облачный сервис, поэтому создание форков, в которых два пользователя могут оказаться в двух разных облаках Telegram, недопустимо. Предоставить вам возможность запускать собственный сервер Telegram при сохранении скорости и безопасности - задача сама по себе трудная. На данный момент Telegram не решили, стоит ли им двигаться в этом направлении.